Representación matricial

Representación matricial

Coordenadas homogéneas y representación matricial

El uso de coordenadas homogéneas permite tratar todas las transformaciones geométricas como una multiplicación de matrices. Las coordenadas agregan un tercer componente a las coordenadas bidimensionales. De tal forma que, un punto (x,y) pasa a ser (x,y,W). El valor de W es generalmente 1.

Coordenadas homogéneas y representación matricial.

El uso de coordenadas homogéneas permite tratar todas
las transformaciones geométricas como una multiplicación de matrices. Las coordenadas agregan un tercer componente a las coordenadas bidimensionales. De tal forma que, un punto (x,y) pasa a ser (x,y,W). El valor de W es generalmente 1.

Representación matricial.

En el área de la graficación por computadora, es común encontrar la representación de las ecuaciones de transformación por medio de matrices, y se pueden encontrar dos tipos de notaciones para representarlas:

1.- Repesentando las coordenadas de un punto p como vectores renglón (en este caso una matriz de transformación M en 2 dimensiones, multiplica al punto por la derecha para obtener el nuevo punto p'.
p= [x1    x2],   p'=[x1    x2]= p*M

2.- Representando las coordenadas de un punto p como vectores columna, en este caso una matriz de transformación M, multiplica al punto por la izquierda para obtener el nuevo punto p'.

x1            x1'

p=[ x2 ],  p'=[ x2' ] =M*p 

Muchas aplicaciones incluyen secuencias de transformaciones geométricas:

– Una animación requiere que los objetos se trasladen y roten en cada fotograma.

– Un diseño CAD requiere muchas transformaciones hasta obtener el resultado final.

• Debemos formular de forma muy eficiente toda la secuencia de transformaciones, cada transformación puede representarse como P’ = P M1+ M2

La matriz M1 contiene la información de ángulos y factores de escala.

La matriz M2 contiene los términos de traslación asociados al punto fijo y al centro de rotación

Para producir una secuencia de transformaciones hay que calcular las nuevas

Coordenadas en cada transformación.

P’’ = P’ M3+ M4=… = P M1M3+ M2 M3+ M4

Buscamos una solución más eficiente que permita combinar las transformaciones para obtener directamente las coordenadas finales a partir de las iniciales

Coordenadas homogéneas

El uso de coordenadas homogéneas permite tratar todas las transformaciones geométricas como una multiplicación de matrices pues no todas las transformaciones son aplicadas a un punto como una multiplicación de factores.

Conclusión.

Una solución más óptima para la manipulación de imágenes es a través de matices, aunque esto es más complejo, hablando del procesado de una matriz. Se a demostrado que es más fácil y sencillo utilizar matrices para hacer las transportaciones de los vectores.

Bibliografía

http://graficacionito.blogspot.mx/2013/09/24-representacion-matricial.html